斯特林公式证明

斯特林公式(Stirling's)

 

 

 

斯特林公式在概率应用数学中的一个重要公式，以及在概率是斯特灵的

公式称为
 

 

 

 

这里用于指示两边比去1 当 n 移到 . 换句话说，我们用
 

 

或
 

 

 

斯特林公式的证明

首先以log的n!到得
 

 

 

 

 因为log 函数增加的间隔我们得到
 

 

 

 

对于添加上述不等式，用我们得到
 

 

虽然第一个积分是不正确的, 它很容易证明，事实上它是收敛的. 利用导数的 (作为), 我们得到的
 

 

下一步，设
 

 

我们得到
 

 

 

 

给出了简单的代数运算
 

 

使用泰勒展开式
 

 

 

 

对于 -1 < t < 1, 我们得到
 

 

这意味着
 

 

我们认识到一个几何级数。因此，我们有
 

 

从这我们得到

1, 这个序列 是减少

2,这个序列 是增加

 这将意味着收敛到一个数C与
 

 

并且 C > d₁ - 1/12 = 1 - 1/12 = 11/12. 以指数为d_n, 我们得到的
 

 

最后一步的证明，如果显示. 这将通过沃利斯公式（Wallis formula）事实上，撤回限制
 

 

重写这个公式，我们得到
 

 

 

 

演示与这个数字，我们得到
 

 

 

 

使用上述公式

 

我们得到
 

 

给出了简单的代数
 

 

由于我们正在处理常数, 我们事实上 . 这就完成了斯特灵公式的证明。

更新:20210423 104007